合并-查找算法

1. 查找-合并算法
查找：检查两个对象是否属于同一个集合
合并：用一个集合替代两个对象分别对应的集合。
1.1. 快速查找
数据结构：使用一个大小为N的数组id[]，p和q是连通的如果他们对应的id值一样。
例如：
节点：  i     0   1   2    3   4   5   6   7   8   9 
初始：  id[i]  0   1   2    3   4   5   6   7   8   9
当前值：id[i]  0   1   9    9   9   6   6   7   8   9
根据当前值，可以看出0是一个集合，1是一个集合，2，3，4，9属于一个集合，5，6属于一个集合，7是一个集合，8是一个集合。
可以看出，5，6是连通的，2，3，4，9是连通的。
问题：节点3，6连通么？
查找操作：因为id[3]=9;id[6]=6，不相同，所以3，6是非连通的。
合并操作：对3，6节点对，.把所有和id[3]相同的id数组里元素值设为id[6].
结果：
i   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
id[i] 0 1 6 6 6 6 6 7 8 6
快速查找的方法：查找可在线性时间内完成，但是合并操作需要O(N)操作
因此，若执行M对节点的连通性的检查，需要O(MN)的操作。
1.2 快速合并
数据结构：使用一个大小为N的数组id[]，id[i]表示的是节点i的父节点，节点i的根节点是id[id[id[…id[i]…]]]，直到值不变，其实，每一个根节点都是自连接的，即id[i]=i。
例如：
节点：  i     0   1   2    3   4   5   6   7   8   9 
初始：  id[i]  0   1   2    3   4   5   6   7   8   9
当前值：id[i]  0   1   9    4   9   6   6   7   8   9
例如，根据当前值可以看出，3的根节点是9，5的根节点是6
查找操作：就是检查p和q的根节点是否相同，因此，3，5是不连通的。
合并操作：为了合并p和q分别所在的集合，设置节点p的根节点的id值为q节点的根节点。
例如：
i   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
id[i] 0   1   9   4   9   6   6   7   8   6
快速合并的方法：查找可能最坏情况下需要O(N)操作
合并操作，只需要常数操作。
总的来说：执行M对N个节点的查找合并操作，需要O(MN)时间。
1.3 改进操作啊
在快速合并的基础上改进。因为快速合并仅仅是把一个节点的根设置为另一个节点的根。这样构成的树可能就比较高（极端情况是一个线性表的形式），因此，要设法减少树的高度，其实很简单，在合并的时候，把树的数目小的合并到数目大的上去就可以了。因此，需要增加一个数组sz来记录这个节点为根的树的大小。
查找操作：和快速合并一样。
合并操作：把小树合并到大树，更新sz数组相应的元素。
部分代码：
int i=root(p),j=root(q);
if(sz[i]<sz[j]) {id[i]=j;sz[j]+=sz[i]};
else        {id[j]=I;sz[i]+=sz[j]};
改进的操作：查找操作O(lgN)时间可以；合并操作O(1);
总的来说：执行M对N个节点的查找合并操作，需要O(MlgN)时间。
还可以继续改进：路径压缩。在快速合并的基础上采用路径合并，即再查找p节点的过程中，把相应的路径上的节点的父节点设置为root(p)。一种简单的替换是仅仅把父节点设置为它的祖父节点就可以。
public int root(int i){
while(i!=id[i]){
id[i]=id[id[i]];
i=id[i];
}

return i;
}
改进2需要的操作：O(MlgN),实际过程中，是线性的，因为lgN是个常数。
1.4 应用
1）网络连通性的检查；
2）Kruskal’s的最小生成树算法。